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$$$8 \sqrt[3]{x}$$$の積分
入力内容
$$$\int 8 \sqrt[3]{x}\, dx$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=8$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{8 \sqrt[3]{x} d x}}} = {\color{red}{\left(8 \int{\sqrt[3]{x} d x}\right)}}$$
$$$n=\frac{1}{3}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$8 {\color{red}{\int{\sqrt[3]{x} d x}}}=8 {\color{red}{\int{x^{\frac{1}{3}} d x}}}=8 {\color{red}{\frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1}}}=8 {\color{red}{\left(\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}\right)}}$$
したがって、
$$\int{8 \sqrt[3]{x} d x} = 6 x^{\frac{4}{3}}$$
積分定数を加える:
$$\int{8 \sqrt[3]{x} d x} = 6 x^{\frac{4}{3}}+C$$
解答
$$$\int 8 \sqrt[3]{x}\, dx = 6 x^{\frac{4}{3}} + C$$$A