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$$$\frac{75}{u^{3}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{75}{u^{3}}\, du$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=75$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{3}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{75}{u^{3}} d u}}} = {\color{red}{\left(75 \int{\frac{1}{u^{3}} d u}\right)}}$$
$$$n=-3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$75 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{3}} d u}}}=75 {\color{red}{\int{u^{-3} d u}}}=75 {\color{red}{\frac{u^{-3 + 1}}{-3 + 1}}}=75 {\color{red}{\left(- \frac{u^{-2}}{2}\right)}}=75 {\color{red}{\left(- \frac{1}{2 u^{2}}\right)}}$$
したがって、
$$\int{\frac{75}{u^{3}} d u} = - \frac{75}{2 u^{2}}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{75}{u^{3}} d u} = - \frac{75}{2 u^{2}}+C$$
解答
$$$\int \frac{75}{u^{3}}\, du = - \frac{75}{2 u^{2}} + C$$$A