$$$\frac{2 x^{4}}{x - 1}$$$の積分

$$$\int \frac{2 x^{4}}{x - 1}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{4}}{x - 1}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{2 x^{4}}{x - 1} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{x^{4}}{x - 1} d x}\right)}}$$

分子の次数が分母の次数以上であるため、多項式の長除法を行います（手順は»で確認できます）:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{x^{4}}{x - 1} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(x^{3} + x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1}\right)d x}}}$$

項別に積分せよ:

$$2 {\color{red}{\int{\left(x^{3} + x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1}\right)d x}}} = 2 {\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{x d x} + \int{x^{2} d x} + \int{x^{3} d x} + \int{\frac{1}{x - 1} d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$2 \int{x d x} + 2 \int{x^{2} d x} + 2 \int{x^{3} d x} + 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\int{1 d x}}} = 2 \int{x d x} + 2 \int{x^{2} d x} + 2 \int{x^{3} d x} + 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{x}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$2 x + 2 \int{x^{2} d x} + 2 \int{x^{3} d x} + 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\int{x d x}}}=2 x + 2 \int{x^{2} d x} + 2 \int{x^{3} d x} + 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=2 x + 2 \int{x^{2} d x} + 2 \int{x^{3} d x} + 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$x^{2} + 2 x + 2 \int{x^{3} d x} + 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=x^{2} + 2 x + 2 \int{x^{3} d x} + 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=x^{2} + 2 x + 2 \int{x^{3} d x} + 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

$$$n=3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + 2 x + 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}=\frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + 2 x + 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}=\frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + 2 x + 2 \int{\frac{1}{x - 1} d x} + 2 {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}$$

$$$u=x - 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

したがって、

$$\frac{x^{4}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + 2 x + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}} = \frac{x^{4}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + 2 x + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{x^{4}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + 2 x + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = \frac{x^{4}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + 2 x + 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x - 1$$$:

$$\frac{x^{4}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + 2 x + 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \frac{x^{4}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + 2 x + 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 1\right)}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{2 x^{4}}{x - 1} d x} = \frac{x^{4}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + 2 x + 2 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{2 x^{4}}{x - 1} d x} = \frac{x^{4}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + 2 x + 2 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{2 x^{4}}{x - 1}\, dx = \left(\frac{x^{4}}{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + 2 x + 2 \ln\left(\left|{x - 1}\right|\right)\right) + C$$$A