$$$2 x^{e}$$$の積分

$$$\int 2 x^{e}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{e}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 x^{e} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{x^{e} d x}\right)}}$$

$$$n=e$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$2 {\color{red}{\int{x^{e} d x}}}=2 {\color{red}{\frac{x^{1 + e}}{1 + e}}}=2 {\color{red}{\frac{x^{1 + e}}{1 + e}}}$$

したがって、

$$\int{2 x^{e} d x} = \frac{2 x^{1 + e}}{1 + e}$$

積分定数を加える:

$$\int{2 x^{e} d x} = \frac{2 x^{1 + e}}{1 + e}+C$$

$$$\int 2 x^{e}\, dx = \frac{2 x^{1 + e}}{1 + e} + C$$$A