$$$\frac{1}{1 - y^{2}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{1 - y^{2}}\, dy$$$ を求めよ。

部分分数分解を行う (手順は»で確認できます):

$${\color{red}{\int{\frac{1}{1 - y^{2}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 \left(y + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(y - 1\right)}\right)d y}}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 \left(y + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(y - 1\right)}\right)d y}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{2 \left(y - 1\right)} d y} + \int{\frac{1}{2 \left(y + 1\right)} d y}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(y \right)} = \frac{1}{y + 1}$$$ に対して適用する:

$$- \int{\frac{1}{2 \left(y - 1\right)} d y} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \left(y + 1\right)} d y}}} = - \int{\frac{1}{2 \left(y - 1\right)} d y} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{y + 1} d y}}{2}\right)}}$$

$$$u=y + 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(y + 1\right)^{\prime }dy = 1 dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$dy = du$$$ となります。

積分は次のようになります

$$- \int{\frac{1}{2 \left(y - 1\right)} d y} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{y + 1} d y}}}}{2} = - \int{\frac{1}{2 \left(y - 1\right)} d y} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$- \int{\frac{1}{2 \left(y - 1\right)} d y} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = - \int{\frac{1}{2 \left(y - 1\right)} d y} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=y + 1$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} - \int{\frac{1}{2 \left(y - 1\right)} d y} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(y + 1\right)}}}\right| \right)}}{2} - \int{\frac{1}{2 \left(y - 1\right)} d y}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(y \right)} = \frac{1}{y - 1}$$$ に対して適用する:

$$\frac{\ln{\left(\left|{y + 1}\right| \right)}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \left(y - 1\right)} d y}}} = \frac{\ln{\left(\left|{y + 1}\right| \right)}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{y - 1} d y}}{2}\right)}}$$

$$$u=y - 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(y - 1\right)^{\prime }dy = 1 dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$dy = du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$\frac{\ln{\left(\left|{y + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{y - 1} d y}}}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{y + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{\ln{\left(\left|{y + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{y + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=y - 1$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{y + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{y + 1}\right| \right)}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(y - 1\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{1 - y^{2}} d y} = - \frac{\ln{\left(\left|{y - 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(\left|{y + 1}\right| \right)}}{2}$$

簡単化せよ:

$$\int{\frac{1}{1 - y^{2}} d y} = \frac{- \ln{\left(\left|{y - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{y + 1}\right| \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{1 - y^{2}} d y} = \frac{- \ln{\left(\left|{y - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{y + 1}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{1}{1 - y^{2}}\, dy = \frac{- \ln\left(\left|{y - 1}\right|\right) + \ln\left(\left|{y + 1}\right|\right)}{2} + C$$$A