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$$$x^{4} \ln\left(2\right)$$$の積分
入力内容
$$$\int x^{4} \ln\left(2\right)\, dx$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\ln{\left(2 \right)}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{4}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{x^{4} \ln{\left(2 \right)} d x}}} = {\color{red}{\ln{\left(2 \right)} \int{x^{4} d x}}}$$
$$$n=4$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\ln{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{x^{4} d x}}}=\ln{\left(2 \right)} {\color{red}{\frac{x^{1 + 4}}{1 + 4}}}=\ln{\left(2 \right)} {\color{red}{\left(\frac{x^{5}}{5}\right)}}$$
したがって、
$$\int{x^{4} \ln{\left(2 \right)} d x} = \frac{x^{5} \ln{\left(2 \right)}}{5}$$
積分定数を加える:
$$\int{x^{4} \ln{\left(2 \right)} d x} = \frac{x^{5} \ln{\left(2 \right)}}{5}+C$$
解答
$$$\int x^{4} \ln\left(2\right)\, dx = \frac{x^{5} \ln\left(2\right)}{5} + C$$$A