$$$\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$$の積分

$$$\int \left(- \ln\left(x\right)\right)\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\ln{\left(\frac{1}{x} \right)} d x}=\int{\left(- \ln{\left(x \right)}\right)d x}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \ln{\left(x \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$- {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=- {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=- {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$- x \ln{\left(x \right)} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = - x \ln{\left(x \right)} + {\color{red}{x}}$$

したがって、

$$\int{\left(- \ln{\left(x \right)}\right)d x} = - x \ln{\left(x \right)} + x$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(- \ln{\left(x \right)}\right)d x} = x \left(1 - \ln{\left(x \right)}\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- \ln{\left(x \right)}\right)d x} = x \left(1 - \ln{\left(x \right)}\right)+C$$

$$$\int \left(- \ln\left(x\right)\right)\, dx = x \left(1 - \ln\left(x\right)\right) + C$$$A