$$$\ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$$の導関数

$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)$$$ を求めよ。

関数$$$\ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$$は、2つの関数$$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$と$$$g{\left(x \right)} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$$$の合成$$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$である。

連鎖律 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ を適用する:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)}$$

自然対数の導関数は $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$

元の変数に戻す:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}{{\color{red}\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}}$$

和/差の導関数は、導関数の和/差である:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) + \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$

$$$n = 1$$$ を用いて冪法則 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ を適用すると、すなわち $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{{\color{red}\left(1\right)} + \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$

関数$$$\sqrt{x^{2} + 1}$$$は、2つの関数$$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$と$$$g{\left(x \right)} = x^{2} + 1$$$の合成$$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$である。

連鎖律 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ を適用する:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)\right)} + 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right) \frac{d}{dx} \left(x^{2} + 1\right)\right)} + 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$

冪法則 $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ を $$$n = \frac{1}{2}$$$ に対して適用する:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2} + 1\right) + 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2} + 1\right) + 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$

元の変数に戻す:

$$\frac{1 + \frac{\frac{d}{dx} \left(x^{2} + 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(u\right)}}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1 + \frac{\frac{d}{dx} \left(x^{2} + 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(x^{2} + 1\right)}}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$

和/差の導関数は、導関数の和/差である:

$$\frac{1 + \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2} + 1\right)\right)}}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1 + \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) + \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$

定数の導数は$$$0$$$です:

$$\frac{1 + \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1 + \frac{{\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$

冪法則 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ を $$$n = 2$$$ に対して適用する:

$$\frac{1 + \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)}}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1 + \frac{{\color{red}\left(2 x\right)}}{2 \sqrt{x^{2} + 1}}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$

簡単化せよ:

$$\frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$

したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$$。