陰関数微分計算機（手順付き）
陰関数微分をステップバイステップで計算
陰関数微分計算機は、陰関数について、$$$y$$$ を $$$x$$$ の関数として、または $$$x$$$ を $$$y$$$ の関数として扱い、1階および2階の導関数を手順を示しながら求めます。
入力内容
$$$\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3} = 2 x y\right)$$$ を求めよ。
解答
方程式の両辺をそれぞれ微分せよ ($$$y$$$ を $$$x$$$ の関数として扱う): $$$\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3}{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(2 x y{\left(x \right)}\right)$$$
方程式の左辺を微分せよ。
和/差の導関数は、導関数の和/差である:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{3}\right) + \frac{d}{dx} \left(y^{3}{\left(x \right)}\right)\right)}$$冪法則 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ を $$$n = 3$$$ に対して適用する:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{3}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(y^{3}{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(3 x^{2}\right)} + \frac{d}{dx} \left(y^{3}{\left(x \right)}\right)$$関数$$$y^{3}{\left(x \right)}$$$は、2つの関数$$$f{\left(u \right)} = u^{3}$$$と$$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$の合成$$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$である。
連鎖律 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ を適用する:
$$3 x^{2} + {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(y^{3}{\left(x \right)}\right)\right)} = 3 x^{2} + {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{3}\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$冪法則 $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ を $$$n = 3$$$ に対して適用する:
$$3 x^{2} + {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{3}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = 3 x^{2} + {\color{red}\left(3 u^{2}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$元の変数に戻す:
$$3 x^{2} + 3 {\color{red}\left(u\right)}^{2} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = 3 x^{2} + 3 {\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)}^{2} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3}{\left(x \right)}\right) = 3 x^{2} + 3 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$$。
方程式の右辺を微分する。
定数倍の法則 $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ を $$$c = 2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$$ に対して適用します:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x y{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x y{\left(x \right)}\right)\right)}$$積の微分法 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ を $$$f{\left(x \right)} = x$$$ と $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$ に適用する:
$$2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x y{\left(x \right)}\right)\right)} = 2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) y{\left(x \right)} + x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$$$$n = 1$$$ を用いて冪法則 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ を適用すると、すなわち $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$2 x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 y{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 2 x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 y{\left(x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(2 x y{\left(x \right)}\right) = 2 x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 y{\left(x \right)}$$$。
したがって、導関数に関する次の線形方程式が得られた：$$$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{dy}{dx} = 2 x \frac{dy}{dx} + 2 y$$$。
これを解くと、$$$\frac{dy}{dx} = \frac{3 x^{2} - 2 y}{2 x - 3 y^{2}}$$$ となる。
解答
$$$\frac{dy}{dx} = \frac{3 x^{2} - 2 y}{2 x - 3 y^{2}}$$$A