$$$\ln\left(1 - x^{2}\right)$$$の導関数

関数$$$\ln\left(1 - x^{2}\right)$$$は、2つの関数$$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$と$$$g{\left(x \right)} = 1 - x^{2}$$$の合成$$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$である。

連鎖律 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ を適用する:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(1 - x^{2}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)\right)}$$

自然対数の導関数は $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)$$

元の変数に戻す:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)}{{\color{red}\left(1 - x^{2}\right)}}$$

和/差の導関数は、導関数の和/差である:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1 - x^{2}\right)\right)}}{1 - x^{2}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right) - \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)}}{1 - x^{2}}$$

冪法則 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ を $$$n = 2$$$ に対して適用する:

$$\frac{- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right)}{1 - x^{2}} = \frac{- {\color{red}\left(2 x\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right)}{1 - x^{2}}$$

定数の導数は$$$0$$$です:

$$\frac{- 2 x + {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{1 - x^{2}} = \frac{- 2 x + {\color{red}\left(0\right)}}{1 - x^{2}}$$

簡単化せよ:

$$- \frac{2 x}{1 - x^{2}} = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$$

したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(1 - x^{2}\right)\right) = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$$$。