$$$\ln\left(1 + \frac{3}{n}\right)$$$の導関数

関数$$$\ln\left(1 + \frac{3}{n}\right)$$$は、2つの関数$$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$と$$$g{\left(n \right)} = 1 + \frac{3}{n}$$$の合成$$$f{\left(g{\left(n \right)} \right)}$$$である。

連鎖律 $$$\frac{d}{dn} \left(f{\left(g{\left(n \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dn} \left(g{\left(n \right)}\right)$$$ を適用する:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dn} \left(\ln\left(1 + \frac{3}{n}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dn} \left(1 + \frac{3}{n}\right)\right)}$$

自然対数の導関数は $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dn} \left(1 + \frac{3}{n}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dn} \left(1 + \frac{3}{n}\right)$$

元の変数に戻す:

$$\frac{\frac{d}{dn} \left(1 + \frac{3}{n}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dn} \left(1 + \frac{3}{n}\right)}{{\color{red}\left(1 + \frac{3}{n}\right)}}$$

和/差の導関数は、導関数の和/差である:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dn} \left(1 + \frac{3}{n}\right)\right)}}{1 + \frac{3}{n}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dn} \left(1\right) + \frac{d}{dn} \left(\frac{3}{n}\right)\right)}}{1 + \frac{3}{n}}$$

定数倍の法則 $$$\frac{d}{dn} \left(c f{\left(n \right)}\right) = c \frac{d}{dn} \left(f{\left(n \right)}\right)$$$ を $$$c = 3$$$ と $$$f{\left(n \right)} = \frac{1}{n}$$$ に対して適用します:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dn} \left(\frac{3}{n}\right)\right)} + \frac{d}{dn} \left(1\right)}{1 + \frac{3}{n}} = \frac{{\color{red}\left(3 \frac{d}{dn} \left(\frac{1}{n}\right)\right)} + \frac{d}{dn} \left(1\right)}{1 + \frac{3}{n}}$$

定数の導数は$$$0$$$です:

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dn} \left(1\right)\right)} + 3 \frac{d}{dn} \left(\frac{1}{n}\right)}{1 + \frac{3}{n}} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} + 3 \frac{d}{dn} \left(\frac{1}{n}\right)}{1 + \frac{3}{n}}$$

冪法則 $$$\frac{d}{dn} \left(n^{m}\right) = m n^{m - 1}$$$ を $$$m = -1$$$ に対して適用する:

$$\frac{3 {\color{red}\left(\frac{d}{dn} \left(\frac{1}{n}\right)\right)}}{1 + \frac{3}{n}} = \frac{3 {\color{red}\left(- \frac{1}{n^{2}}\right)}}{1 + \frac{3}{n}}$$

簡単化せよ:

$$- \frac{3}{n^{2} \left(1 + \frac{3}{n}\right)} = - \frac{3}{n \left(n + 3\right)}$$

したがって、$$$\frac{d}{dn} \left(\ln\left(1 + \frac{3}{n}\right)\right) = - \frac{3}{n \left(n + 3\right)}$$$。