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$$$z$$$ に関する $$$e^{x y z}$$$ の導関数
入力内容
$$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right)$$$ を求めよ。
解答
関数$$$e^{x y z}$$$は、2つの関数$$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$と$$$g{\left(z \right)} = x y z$$$の合成$$$f{\left(g{\left(z \right)} \right)}$$$である。
連鎖律 $$$\frac{d}{dz} \left(f{\left(g{\left(z \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dz} \left(g{\left(z \right)}\right)$$$ を適用する:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dz} \left(x y z\right)\right)}$$指数関数の微分は$$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$です:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dz} \left(x y z\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dz} \left(x y z\right)$$元の変数に戻す:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dz} \left(x y z\right) = e^{{\color{red}\left(x y z\right)}} \frac{d}{dz} \left(x y z\right)$$定数倍の法則 $$$\frac{d}{dz} \left(c f{\left(z \right)}\right) = c \frac{d}{dz} \left(f{\left(z \right)}\right)$$$ を $$$c = x y$$$ と $$$f{\left(z \right)} = z$$$ に対して適用します:
$$e^{x y z} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(x y z\right)\right)} = e^{x y z} {\color{red}\left(x y \frac{d}{dz} \left(z\right)\right)}$$$$$n = 1$$$ を用いて冪法則 $$$\frac{d}{dz} \left(z^{n}\right) = n z^{n - 1}$$$ を適用すると、すなわち $$$\frac{d}{dz} \left(z\right) = 1$$$:
$$x y e^{x y z} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(z\right)\right)} = x y e^{x y z} {\color{red}\left(1\right)}$$したがって、$$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z}$$$。
解答
$$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z}$$$A