|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$$e^{2 t}$$$の導関数
入力内容
$$$\frac{d}{dt} \left(e^{2 t}\right)$$$ を求めよ。
解答
関数$$$e^{2 t}$$$は、2つの関数$$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$と$$$g{\left(t \right)} = 2 t$$$の合成$$$f{\left(g{\left(t \right)} \right)}$$$である。
連鎖律 $$$\frac{d}{dt} \left(f{\left(g{\left(t \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(g{\left(t \right)}\right)$$$ を適用する:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(e^{2 t}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dt} \left(2 t\right)\right)}$$指数関数の微分は$$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$です:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dt} \left(2 t\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dt} \left(2 t\right)$$元の変数に戻す:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dt} \left(2 t\right) = e^{{\color{red}\left(2 t\right)}} \frac{d}{dt} \left(2 t\right)$$定数倍の法則 $$$\frac{d}{dt} \left(c f{\left(t \right)}\right) = c \frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)}\right)$$$ を $$$c = 2$$$ と $$$f{\left(t \right)} = t$$$ に対して適用します:
$$e^{2 t} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(2 t\right)\right)} = e^{2 t} {\color{red}\left(2 \frac{d}{dt} \left(t\right)\right)}$$$$$n = 1$$$ を用いて冪法則 $$$\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1}$$$ を適用すると、すなわち $$$\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1$$$:
$$2 e^{2 t} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} = 2 e^{2 t} {\color{red}\left(1\right)}$$したがって、$$$\frac{d}{dt} \left(e^{2 t}\right) = 2 e^{2 t}$$$。
解答
$$$\frac{d}{dt} \left(e^{2 t}\right) = 2 e^{2 t}$$$A