$$$\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}$$$の導関数
関連する計算機: 対数微分計算機, 陰関数微分計算機（手順付き）
入力内容
$$$\frac{d}{dx} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right)$$$ を求めよ。
解答
関数$$$\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}$$$は、2つの関数$$$f{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$と$$$g{\left(x \right)} = \sqrt{x}$$$の合成$$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$である。
連鎖律 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ を適用する:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)}$$逆正接関数の導関数は$$$\frac{d}{du} \left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right) = \frac{1}{u^{2} + 1}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u^{2} + 1}\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)$$元の変数に戻す:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}^{2} + 1} = \frac{\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)}{{\color{red}\left(\sqrt{x}\right)}^{2} + 1}$$冪法則 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ を $$$n = \frac{1}{2}$$$ に対して適用する:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)}}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)}}{x + 1}$$したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)}$$$。
解答
$$$\frac{d}{dx} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)}$$$A