$$$r$$$ に関する $$$3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}$$$ の導関数
関連する計算機: 対数微分計算機, 陰関数微分計算機（手順付き）
入力内容
$$$\frac{d}{dr} \left(3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\right)$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\frac{d}{dr} \left(c f{\left(r \right)}\right) = c \frac{d}{dr} \left(f{\left(r \right)}\right)$$$ を $$$c = 3 \sin{\left(3 \theta \right)}$$$ と $$$f{\left(r \right)} = e^{- 4 r}$$$ に対して適用します:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dr} \left(3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(3 \sin{\left(3 \theta \right)} \frac{d}{dr} \left(e^{- 4 r}\right)\right)}$$関数$$$e^{- 4 r}$$$は、2つの関数$$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$と$$$g{\left(r \right)} = - 4 r$$$の合成$$$f{\left(g{\left(r \right)} \right)}$$$である。
連鎖律 $$$\frac{d}{dr} \left(f{\left(g{\left(r \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dr} \left(g{\left(r \right)}\right)$$$ を適用する:
$$3 \sin{\left(3 \theta \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dr} \left(e^{- 4 r}\right)\right)} = 3 \sin{\left(3 \theta \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dr} \left(- 4 r\right)\right)}$$指数関数の微分は$$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$です:
$$3 \sin{\left(3 \theta \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dr} \left(- 4 r\right) = 3 \sin{\left(3 \theta \right)} {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dr} \left(- 4 r\right)$$元の変数に戻す:
$$3 e^{{\color{red}\left(u\right)}} \sin{\left(3 \theta \right)} \frac{d}{dr} \left(- 4 r\right) = 3 e^{{\color{red}\left(- 4 r\right)}} \sin{\left(3 \theta \right)} \frac{d}{dr} \left(- 4 r\right)$$定数倍の法則 $$$\frac{d}{dr} \left(c f{\left(r \right)}\right) = c \frac{d}{dr} \left(f{\left(r \right)}\right)$$$ を $$$c = -4$$$ と $$$f{\left(r \right)} = r$$$ に対して適用します:
$$3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dr} \left(- 4 r\right)\right)} = 3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} {\color{red}\left(- 4 \frac{d}{dr} \left(r\right)\right)}$$$$$n = 1$$$ を用いて冪法則 $$$\frac{d}{dr} \left(r^{n}\right) = n r^{n - 1}$$$ を適用すると、すなわち $$$\frac{d}{dr} \left(r\right) = 1$$$:
$$- 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dr} \left(r\right)\right)} = - 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$したがって、$$$\frac{d}{dr} \left(3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\right) = - 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}$$$。
解答
$$$\frac{d}{dr} \left(3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\right) = - 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}$$$A