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$$$1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}$$$の導関数
関連する計算機: 対数微分計算機, 陰関数微分計算機（手順付き）
入力内容
$$$\frac{d}{dt} \left(1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)$$$ を求めよ。
解答
和/差の導関数は、導関数の和/差である:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(1\right) - \frac{d}{dt} \left(\sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)\right)}$$定数の導数は$$$0$$$です:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(1\right)\right)} - \frac{d}{dt} \left(\sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right) = {\color{red}\left(0\right)} - \frac{d}{dt} \left(\sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)$$関数$$$\sin{\left(\frac{t}{2} \right)}$$$は、2つの関数$$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$と$$$g{\left(t \right)} = \frac{t}{2}$$$の合成$$$f{\left(g{\left(t \right)} \right)}$$$である。
連鎖律 $$$\frac{d}{dt} \left(f{\left(g{\left(t \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(g{\left(t \right)}\right)$$$ を適用する:
$$- {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(\sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right)\right)} = - {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(\frac{t}{2}\right)\right)}$$正弦関数の導関数は$$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$$- {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dt} \left(\frac{t}{2}\right) = - {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dt} \left(\frac{t}{2}\right)$$元の変数に戻す:
$$- \cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dt} \left(\frac{t}{2}\right) = - \cos{\left({\color{red}\left(\frac{t}{2}\right)} \right)} \frac{d}{dt} \left(\frac{t}{2}\right)$$定数倍の法則 $$$\frac{d}{dt} \left(c f{\left(t \right)}\right) = c \frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)}\right)$$$ を $$$c = \frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(t \right)} = t$$$ に対して適用します:
$$- \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(\frac{t}{2}\right)\right)} = - \cos{\left(\frac{t}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{\frac{d}{dt} \left(t\right)}{2}\right)}$$$$$n = 1$$$ を用いて冪法則 $$$\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1}$$$ を適用すると、すなわち $$$\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1$$$:
$$- \frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)}}{2} = - \frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)} {\color{red}\left(1\right)}}{2}$$したがって、$$$\frac{d}{dt} \left(1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right) = - \frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2}$$$。
解答
$$$\frac{d}{dt} \left(1 - \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}\right) = - \frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2}$$$A