Integrale di $$$2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}$$$

Trova $$$\int 2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx$$$.

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=2$$$ e $$$f{\left(x \right)} = e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} d x}\right)}}$$

Per l'integrale $$$\int{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} d x}$$$, usa l'integrazione per parti $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Siano $$$\operatorname{u}=\sin{\left(2 x \right)}$$$ e $$$\operatorname{dv}=e^{- x} dx$$$.

Quindi $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(2 x \right)}\right)^{\prime }dx=2 \cos{\left(2 x \right)} dx$$$ (i passaggi si possono vedere ») e $$$\operatorname{v}=\int{e^{- x} d x}=- e^{- x}$$$ (i passaggi si possono vedere »).

Quindi,

$$2 {\color{red}{\int{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} d x}}}=2 {\color{red}{\left(\sin{\left(2 x \right)} \cdot \left(- e^{- x}\right)-\int{\left(- e^{- x}\right) \cdot 2 \cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}=2 {\color{red}{\left(- \int{\left(- 2 e^{- x} \cos{\left(2 x \right)}\right)d x} - e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}\right)}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=-2$$$ e $$$f{\left(x \right)} = e^{- x} \cos{\left(2 x \right)}$$$:

$$- 2 {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{- x} \cos{\left(2 x \right)}\right)d x}}} - 2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} = - 2 {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{- x} \cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}} - 2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}$$

Per l'integrale $$$\int{e^{- x} \cos{\left(2 x \right)} d x}$$$, usa l'integrazione per parti $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Siano $$$\operatorname{u}=\cos{\left(2 x \right)}$$$ e $$$\operatorname{dv}=e^{- x} dx$$$.

Quindi $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(2 x \right)}\right)^{\prime }dx=- 2 \sin{\left(2 x \right)} dx$$$ (i passaggi si possono vedere ») e $$$\operatorname{v}=\int{e^{- x} d x}=- e^{- x}$$$ (i passaggi si possono vedere »).

L'integrale può essere riscritto come

$$4 {\color{red}{\int{e^{- x} \cos{\left(2 x \right)} d x}}} - 2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}=4 {\color{red}{\left(\cos{\left(2 x \right)} \cdot \left(- e^{- x}\right)-\int{\left(- e^{- x}\right) \cdot \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)}\right) d x}\right)}} - 2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}=4 {\color{red}{\left(- \int{2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} d x} - e^{- x} \cos{\left(2 x \right)}\right)}} - 2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=2$$$ e $$$f{\left(x \right)} = e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}$$$:

$$- 4 {\color{red}{\int{2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} d x}}} - 2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} - 4 e^{- x} \cos{\left(2 x \right)} = - 4 {\color{red}{\left(2 \int{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} d x}\right)}} - 2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} - 4 e^{- x} \cos{\left(2 x \right)}$$

Siamo arrivati a un integrale che abbiamo già visto.

Pertanto, abbiamo ottenuto la seguente semplice equazione in termini dell’integrale:

$$2 \int{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} d x} = - 8 \int{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} d x} - 2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} - 4 e^{- x} \cos{\left(2 x \right)}$$

Risolvendo, otteniamo che

$$\int{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\left(- \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x}}{5}$$

Pertanto,

$$2 {\color{red}{\int{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} d x}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\left(- \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x}}{5}\right)}}$$

Pertanto,

$$\int{2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} d x} = \frac{2 \left(- \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x}}{5}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)} d x} = \frac{2 \left(- \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x}}{5}+C$$

$$$\int 2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{2 \left(- \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x}}{5} + C$$$A