Intégrale de $$$x e^{x}$$$

Déterminez $$$\int x e^{x}\, dx$$$.

Pour l’intégrale $$$\int{x e^{x} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=x$$$ et $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{x e^{x} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(x e^{x} - \int{e^{x} d x}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$ :

$$x e^{x} - {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = x e^{x} - {\color{red}{e^{x}}}$$

Par conséquent,

$$\int{x e^{x} d x} = x e^{x} - e^{x}$$

Simplifier:

$$\int{x e^{x} d x} = \left(x - 1\right) e^{x}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{x e^{x} d x} = \left(x - 1\right) e^{x}+C$$

$$$\int x e^{x}\, dx = \left(x - 1\right) e^{x} + C$$$A