$$$x e^{x}$$$の積分

$$$\int x e^{x}\, dx$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{x e^{x} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{x e^{x} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(x e^{x} - \int{e^{x} d x}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$です:

$$x e^{x} - {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = x e^{x} - {\color{red}{e^{x}}}$$

したがって、

$$\int{x e^{x} d x} = x e^{x} - e^{x}$$

簡単化せよ:

$$\int{x e^{x} d x} = \left(x - 1\right) e^{x}$$

積分定数を加える:

$$\int{x e^{x} d x} = \left(x - 1\right) e^{x}+C$$

$$$\int x e^{x}\, dx = \left(x - 1\right) e^{x} + C$$$A