$$$x e^{x}$$$ 的积分

求$$$\int x e^{x}\, dx$$$。

对于积分$$$\int{x e^{x} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=x$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{x} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{x} d x}=e^{x}$$$ (步骤见 »)。

因此，

$${\color{red}{\int{x e^{x} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot e^{x}-\int{e^{x} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(x e^{x} - \int{e^{x} d x}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$：

$$x e^{x} - {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = x e^{x} - {\color{red}{e^{x}}}$$

因此，

$$\int{x e^{x} d x} = x e^{x} - e^{x}$$

化简：

$$\int{x e^{x} d x} = \left(x - 1\right) e^{x}$$

加上积分常数：

$$\int{x e^{x} d x} = \left(x - 1\right) e^{x}+C$$

$$$\int x e^{x}\, dx = \left(x - 1\right) e^{x} + C$$$A