Intégrale de $$$\frac{\sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(y \right)} \sin{\left(2 y \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(y \right)} \sin{\left(2 y \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Réécrivez l'intégrande:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(y \right)} \sin{\left(2 y \right)}}{\sin{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{4 \sin^{2}{\left(y \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(y \right)} d x}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=4 \sin^{2}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{4 \sin^{2}{\left(y \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(y \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \sin^{2}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)} \int{\cos{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(x \right)} d x} = \sin{\left(x \right)}$$$ :

$$4 \sin^{2}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)} {\color{red}{\int{\cos{\left(x \right)} d x}}} = 4 \sin^{2}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)} {\color{red}{\sin{\left(x \right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(y \right)} \sin{\left(2 y \right)}}{\sin{\left(x \right)}} d x} = 4 \sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(y \right)} \sin{\left(2 y \right)}}{\sin{\left(x \right)}} d x} = 4 \sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(y \right)} \sin{\left(2 y \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = 4 \sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(y \right)} \cos{\left(y \right)} + C$$$A