Intégrale de $$$e^{2 x^{2}}$$$

Déterminez $$$\int e^{2 x^{2}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\sqrt{2} x$$$.

Alors $$$du=\left(\sqrt{2} x\right)^{\prime }dx = \sqrt{2} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{\sqrt{2} du}{2}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{e^{2 x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2} e^{u^{2}}}{2} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2} e^{u^{2}}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \int{e^{u^{2}} d u}}{2}\right)}}$$

Cette intégrale (Fonction d'erreur imaginaire) n’admet pas de forme fermée :

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}}}{2} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{2}$$

Rappelons que $$$u=\sqrt{2} x$$$ :

$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\sqrt{2} x}} \right)}}{4}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{2 x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{4}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{2 x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{4}+C$$

$$$\int e^{2 x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{4} + C$$$A