Integrale di $$$e^{2 x^{2}}$$$

Trova $$$\int e^{2 x^{2}}\, dx$$$.

Sia $$$u=\sqrt{2} x$$$.

Quindi $$$du=\left(\sqrt{2} x\right)^{\prime }dx = \sqrt{2} dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = \frac{\sqrt{2} du}{2}$$$.

Quindi,

$${\color{red}{\int{e^{2 x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2} e^{u^{2}}}{2} d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$ e $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2} e^{u^{2}}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \int{e^{u^{2}} d u}}{2}\right)}}$$

Questo integrale (Funzione di errore immaginaria) non ha una forma chiusa:

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}}}{2} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{2}$$

Ricordiamo che $$$u=\sqrt{2} x$$$:

$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\sqrt{2} x}} \right)}}{4}$$

Pertanto,

$$\int{e^{2 x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{4}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{e^{2 x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{4}+C$$

$$$\int e^{2 x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{2} x \right)}}{4} + C$$$A