Intégrale de $$$a^{- x}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int a^{- x}\, dx$$$.

Soit $$$u=- x$$$.

Alors $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = - du$$$.

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{a^{- x} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- a^{u}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(u \right)} = a^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- a^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{a^{u} d u}\right)}}$$

Apply the exponential rule $$$\int{a^{u} d u} = \frac{a^{u}}{\ln{\left(a \right)}}$$$ with $$$a=a$$$:

$$- {\color{red}{\int{a^{u} d u}}} = - {\color{red}{\frac{a^{u}}{\ln{\left(a \right)}}}}$$

Rappelons que $$$u=- x$$$ :

$$- \frac{a^{{\color{red}{u}}}}{\ln{\left(a \right)}} = - \frac{a^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}}{\ln{\left(a \right)}}$$

Par conséquent,

$$\int{a^{- x} d x} = - \frac{a^{- x}}{\ln{\left(a \right)}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{a^{- x} d x} = - \frac{a^{- x}}{\ln{\left(a \right)}}+C$$

$$$\int a^{- x}\, dx = - \frac{a^{- x}}{\ln\left(a\right)} + C$$$A