Dérivée de $$$x \sin{\left(x \right)}$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivation logarithmique, Calculatrice de dérivation implicite pas à pas
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(x \right)}\right)$$$.
Solution
Appliquez la règle du produit $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$f{\left(x \right)} = x$$$ et $$$g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \sin{\left(x \right)} + x \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)}$$Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$x \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = x \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$La dérivée du sinus est $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right) = \cos{\left(x \right)}$$$ :
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x \right)}\right)\right)} + \sin{\left(x \right)} = x {\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)} + \sin{\left(x \right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(x \right)}\right) = x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$$$.
Réponse
$$$\frac{d}{dx} \left(x \sin{\left(x \right)}\right) = x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$$$A