|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dérivée de $$$\sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivation logarithmique, Calculatrice de dérivation implicite pas à pas
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}\right)$$$.
Solution
La fonction $$$\sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ et $$$g{\left(x \right)} = \frac{\pi x}{3}$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(\frac{\pi x}{3}\right)\right)}$$La dérivée du sinus est $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{\pi x}{3}\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{\pi x}{3}\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{\pi x}{3}\right) = \cos{\left({\color{red}\left(\frac{\pi x}{3}\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{\pi x}{3}\right)$$Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = \frac{\pi}{3}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$\cos{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{\pi x}{3}\right)\right)} = \cos{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} {\color{red}\left(\frac{\pi}{3} \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{3} = \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{3} \right)} {\color{red}\left(1\right)}}{3}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}\right) = \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}}{3}$$$.
Réponse
$$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}\right) = \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi x}{3} \right)}}{3}$$$A