|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dérivée de $$$\sin{\left(a - x \right)}$$$ par rapport à $$$x$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivation logarithmique, Calculatrice de dérivation implicite pas à pas
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(a - x \right)}\right)$$$.
Solution
La fonction $$$\sin{\left(a - x \right)}$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ et $$$g{\left(x \right)} = a - x$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(a - x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(a - x\right)\right)}$$La dérivée du sinus est $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(a - x\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(a - x\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(a - x\right) = \cos{\left({\color{red}\left(a - x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(a - x\right)$$La dérivée d'une somme/différence est la somme/différence des dérivées :
$$\cos{\left(a - x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a - x\right)\right)} = \cos{\left(a - x \right)} {\color{red}\left(\frac{da}{dx} - \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\left(- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \frac{da}{dx}\right) \cos{\left(a - x \right)} = \left(- {\color{red}\left(1\right)} + \frac{da}{dx}\right) \cos{\left(a - x \right)}$$La dérivée d'une constante est $$$0$$$ :
$$\left({\color{red}\left(\frac{da}{dx}\right)} - 1\right) \cos{\left(a - x \right)} = \left({\color{red}\left(0\right)} - 1\right) \cos{\left(a - x \right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(a - x \right)}\right) = - \cos{\left(a - x \right)}$$$.
Réponse
$$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(a - x \right)}\right) = - \cos{\left(a - x \right)}$$$A