Dérivée de $$$\ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivation logarithmique, Calculatrice de dérivation implicite pas à pas
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)$$$.
Solution
La fonction $$$\ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ et $$$g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)}$$La dérivée du logarithme naturel est $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)}}$$La dérivée du cosinus est $$$\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) = - \sin{\left(x \right)}$$$ :
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)}}{\cos{\left(x \right)}} = \frac{{\color{red}\left(- \sin{\left(x \right)}\right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$Simplifier:
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = - \tan{\left(x \right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)\right) = - \tan{\left(x \right)}$$$.
Réponse
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)\right) = - \tan{\left(x \right)}$$$A