Dérivée de $$$\ln\left(2 x + 1\right)$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivation logarithmique, Calculatrice de dérivation implicite pas à pas
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(2 x + 1\right)\right)$$$.
Solution
La fonction $$$\ln\left(2 x + 1\right)$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ et $$$g{\left(x \right)} = 2 x + 1$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(2 x + 1\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(2 x + 1\right)\right)}$$La dérivée du logarithme naturel est $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x + 1\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x + 1\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(2 x + 1\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(2 x + 1\right)}{{\color{red}\left(2 x + 1\right)}}$$La dérivée d'une somme/différence est la somme/différence des dérivées :
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x + 1\right)\right)}}{2 x + 1} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 x + 1}$$La dérivée d'une constante est $$$0$$$ :
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(2 x\right)}{2 x + 1} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(2 x\right)}{2 x + 1}$$Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = 2$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)}}{2 x + 1} = \frac{{\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{2 x + 1}$$Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\frac{2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{2 x + 1} = \frac{2 {\color{red}\left(1\right)}}{2 x + 1}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(2 x + 1\right)\right) = \frac{2}{2 x + 1}$$$.
Réponse
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(2 x + 1\right)\right) = \frac{2}{2 x + 1}$$$A