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Dérivée de $$$e^{x} + \sin{\left(y z \right)}$$$ par rapport à $$$z$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivation logarithmique, Calculatrice de dérivation implicite pas à pas
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{dz} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right)$$$.
Solution
La dérivée d'une somme/différence est la somme/différence des dérivées :
$${\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(e^{x}\right) + \frac{d}{dz} \left(\sin{\left(y z \right)}\right)\right)}$$La dérivée d'une constante est $$$0$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(e^{x}\right)\right)} + \frac{d}{dz} \left(\sin{\left(y z \right)}\right) = {\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dz} \left(\sin{\left(y z \right)}\right)$$La fonction $$$\sin{\left(y z \right)}$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(z \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ et $$$g{\left(z \right)} = y z$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dz} \left(f{\left(g{\left(z \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dz} \left(g{\left(z \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(\sin{\left(y z \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dz} \left(y z\right)\right)}$$La dérivée du sinus est $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dz} \left(y z\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dz} \left(y z\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dz} \left(y z\right) = \cos{\left({\color{red}\left(y z\right)} \right)} \frac{d}{dz} \left(y z\right)$$Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dz} \left(c f{\left(z \right)}\right) = c \frac{d}{dz} \left(f{\left(z \right)}\right)$$$ avec $$$c = y$$$ et $$$f{\left(z \right)} = z$$$:
$$\cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(y z\right)\right)} = \cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(y \frac{d}{dz} \left(z\right)\right)}$$Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dz} \left(z^{n}\right) = n z^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dz} \left(z\right) = 1$$$:
$$y \cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(z\right)\right)} = y \cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dz} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right) = y \cos{\left(y z \right)}$$$.
Réponse
$$$\frac{d}{dz} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right) = y \cos{\left(y z \right)}$$$A