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Dérivée de $$$\cos{\left(x y \right)}$$$ par rapport à $$$y$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivation logarithmique, Calculatrice de dérivation implicite pas à pas
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{dy} \left(\cos{\left(x y \right)}\right)$$$.
Solution
La fonction $$$\cos{\left(x y \right)}$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(y \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ et $$$g{\left(y \right)} = x y$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dy} \left(f{\left(g{\left(y \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dy} \left(g{\left(y \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(\cos{\left(x y \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dy} \left(x y\right)\right)}$$La dérivée du cosinus est $$$\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) = - \sin{\left(u \right)}$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right) = {\color{red}\left(- \sin{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$- \sin{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right) = - \sin{\left({\color{red}\left(x y\right)} \right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right)$$Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dy} \left(c f{\left(y \right)}\right) = c \frac{d}{dy} \left(f{\left(y \right)}\right)$$$ avec $$$c = x$$$ et $$$f{\left(y \right)} = y$$$:
$$- \sin{\left(x y \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(x y\right)\right)} = - \sin{\left(x y \right)} {\color{red}\left(x \frac{d}{dy} \left(y\right)\right)}$$Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dy} \left(y^{n}\right) = n y^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dy} \left(y\right) = 1$$$:
$$- x \sin{\left(x y \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(y\right)\right)} = - x \sin{\left(x y \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dy} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = - x \sin{\left(x y \right)}$$$.
Réponse
$$$\frac{d}{dy} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = - x \sin{\left(x y \right)}$$$A