Dérivée de $$$\cos{\left(\ln\left(u\right) \right)}$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivation logarithmique, Calculatrice de dérivation implicite pas à pas
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{du} \left(\cos{\left(\ln\left(u\right) \right)}\right)$$$.
Solution
La fonction $$$\cos{\left(\ln\left(u\right) \right)}$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(u \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$ et $$$g{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{du} \left(f{\left(g{\left(u \right)} \right)}\right) = \frac{d}{dv} \left(f{\left(v \right)}\right) \frac{d}{du} \left(g{\left(u \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(\ln\left(u\right) \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dv} \left(\cos{\left(v \right)}\right) \frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)}$$La dérivée du cosinus est $$$\frac{d}{dv} \left(\cos{\left(v \right)}\right) = - \sin{\left(v \right)}$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{dv} \left(\cos{\left(v \right)}\right)\right)} \frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = {\color{red}\left(- \sin{\left(v \right)}\right)} \frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$- \sin{\left({\color{red}\left(v\right)} \right)} \frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = - \sin{\left({\color{red}\left(\ln\left(u\right)\right)} \right)} \frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)$$La dérivée du logarithme naturel est $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$ :
$$- \sin{\left(\ln\left(u\right) \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} = - \sin{\left(\ln\left(u\right) \right)} {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{du} \left(\cos{\left(\ln\left(u\right) \right)}\right) = - \frac{\sin{\left(\ln\left(u\right) \right)}}{u}$$$.
Réponse
$$$\frac{d}{du} \left(\cos{\left(\ln\left(u\right) \right)}\right) = - \frac{\sin{\left(\ln\left(u\right) \right)}}{u}$$$A