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Dérivée de $$$\cos{\left(e^{t} \right)}$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivation logarithmique, Calculatrice de dérivation implicite pas à pas
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(e^{t} \right)}\right)$$$.
Solution
La fonction $$$\cos{\left(e^{t} \right)}$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(t \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ et $$$g{\left(t \right)} = e^{t}$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dt} \left(f{\left(g{\left(t \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(g{\left(t \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(e^{t} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(e^{t}\right)\right)}$$La dérivée du cosinus est $$$\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) = - \sin{\left(u \right)}$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dt} \left(e^{t}\right) = {\color{red}\left(- \sin{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dt} \left(e^{t}\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$- \sin{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dt} \left(e^{t}\right) = - \sin{\left({\color{red}\left(e^{t}\right)} \right)} \frac{d}{dt} \left(e^{t}\right)$$La dérivée de la fonction exponentielle est $$$\frac{d}{dt} \left(e^{t}\right) = e^{t}$$$ :
$$- \sin{\left(e^{t} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(e^{t}\right)\right)} = - \sin{\left(e^{t} \right)} {\color{red}\left(e^{t}\right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(e^{t} \right)}\right) = - e^{t} \sin{\left(e^{t} \right)}$$$.
Réponse
$$$\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(e^{t} \right)}\right) = - e^{t} \sin{\left(e^{t} \right)}$$$A