Dérivée de $$$3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}$$$ par rapport à $$$r$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivation logarithmique, Calculatrice de dérivation implicite pas à pas
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{dr} \left(3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\right)$$$.
Solution
Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dr} \left(c f{\left(r \right)}\right) = c \frac{d}{dr} \left(f{\left(r \right)}\right)$$$ avec $$$c = 3 \sin{\left(3 \theta \right)}$$$ et $$$f{\left(r \right)} = e^{- 4 r}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dr} \left(3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(3 \sin{\left(3 \theta \right)} \frac{d}{dr} \left(e^{- 4 r}\right)\right)}$$La fonction $$$e^{- 4 r}$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(r \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ et $$$g{\left(r \right)} = - 4 r$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dr} \left(f{\left(g{\left(r \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dr} \left(g{\left(r \right)}\right)$$$:
$$3 \sin{\left(3 \theta \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dr} \left(e^{- 4 r}\right)\right)} = 3 \sin{\left(3 \theta \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dr} \left(- 4 r\right)\right)}$$La dérivée de la fonction exponentielle est $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$ :
$$3 \sin{\left(3 \theta \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dr} \left(- 4 r\right) = 3 \sin{\left(3 \theta \right)} {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dr} \left(- 4 r\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$3 e^{{\color{red}\left(u\right)}} \sin{\left(3 \theta \right)} \frac{d}{dr} \left(- 4 r\right) = 3 e^{{\color{red}\left(- 4 r\right)}} \sin{\left(3 \theta \right)} \frac{d}{dr} \left(- 4 r\right)$$Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dr} \left(c f{\left(r \right)}\right) = c \frac{d}{dr} \left(f{\left(r \right)}\right)$$$ avec $$$c = -4$$$ et $$$f{\left(r \right)} = r$$$:
$$3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dr} \left(- 4 r\right)\right)} = 3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} {\color{red}\left(- 4 \frac{d}{dr} \left(r\right)\right)}$$Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dr} \left(r^{n}\right) = n r^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dr} \left(r\right) = 1$$$:
$$- 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dr} \left(r\right)\right)} = - 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dr} \left(3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\right) = - 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}$$$.
Réponse
$$$\frac{d}{dr} \left(3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\right) = - 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}$$$A