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Dérivée de $$$2 e^{2 x}$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivation logarithmique, Calculatrice de dérivation implicite pas à pas
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{dx} \left(2 e^{2 x}\right)$$$.
Solution
Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = 2$$$ et $$$f{\left(x \right)} = e^{2 x}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 e^{2 x}\right)\right)} = {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(e^{2 x}\right)\right)}$$La fonction $$$e^{2 x}$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ et $$$g{\left(x \right)} = 2 x$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$$2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{2 x}\right)\right)} = 2 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)}$$La dérivée de la fonction exponentielle est $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$ :
$$2 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = 2 {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$2 e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = 2 e^{{\color{red}\left(2 x\right)}} \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = 2$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$2 e^{2 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} = 2 e^{2 x} {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$4 e^{2 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 4 e^{2 x} {\color{red}\left(1\right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(2 e^{2 x}\right) = 4 e^{2 x}$$$.
Réponse
$$$\frac{d}{dx} \left(2 e^{2 x}\right) = 4 e^{2 x}$$$A