Integraali $$$\frac{f x^{2}}{g}$$$:stä muuttujan $$$x$$$ suhteen

Määritä $$$\int \frac{f x^{2}}{g}\, dx$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ käyttäen $$$c=\frac{f}{g}$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{f x^{2}}{g} d x}}} = {\color{red}{\frac{f \int{x^{2} d x}}{g}}}$$

Sovella potenssisääntöä $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ käyttäen $$$n=2$$$:

$$\frac{f {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}}{g}=\frac{f {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{g}=\frac{f {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}}{g}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{f x^{2}}{g} d x} = \frac{f x^{3}}{3 g}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{f x^{2}}{g} d x} = \frac{f x^{3}}{3 g}+C$$

$$$\int \frac{f x^{2}}{g}\, dx = \frac{f x^{3}}{3 g} + C$$$A