Funktion $$$e^{4 x^{2}}$$$ integraali

Määritä $$$\int e^{4 x^{2}}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=2 x$$$.

Tällöin $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$dx = \frac{du}{2}$$$.

Integraali muuttuu muotoon

$${\color{red}{\int{e^{4 x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u^{2}}}{2} d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=\frac{1}{2}$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u^{2}}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u^{2}} d u}}{2}\right)}}$$

Tällä integraalilla (Imaginäärinen virhefunktio) ei ole suljettua muotoa:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{2}$$

Muista, että $$$u=2 x$$$:

$$\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{4}$$

Näin ollen,

$$\int{e^{4 x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(2 x \right)}}{4}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{e^{4 x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(2 x \right)}}{4}+C$$

$$$\int e^{4 x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(2 x \right)}}{4} + C$$$A