Funktion $$$\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Kirjoita sini uudelleen käyttäen kaksinkertaisen kulman kaavaa $$$\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

Kerro osoittaja ja nimittäjä luvulla $$$\sec^2\left(\frac{x}{2} \right)$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

Olkoon $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$.

Tällöin $$$du=\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} dx = 2 du$$$.

Integraali muuttuu muotoon

$${\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Funktion $$$\frac{1}{u}$$$ integraali on $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Muista, että $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}}\right| \right)}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} d x} = \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} d x} = \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = \ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right|\right) + C$$$A