Intégrale de $$$\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Réécrivez le sinus en utilisant la formule de l'angle double $$$\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

Multipliez le numérateur et le dénominateur par $$$\sec^2\left(\frac{x}{2} \right)$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}}$$

Soit $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$.

Alors $$$du=\left(\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} dx = 2 du$$$.

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$ :

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}}}\right| \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} d x} = \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}} d x} = \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = \ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right|\right) + C$$$A