Funktion $$$2 t e^{2}$$$ integraali

Määritä $$$\int 2 t e^{2}\, dt$$$.

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ käyttäen $$$c=2 e^{2}$$$ ja $$$f{\left(t \right)} = t$$$:

$${\color{red}{\int{2 t e^{2} d t}}} = {\color{red}{\left(2 e^{2} \int{t d t}\right)}}$$

Sovella potenssisääntöä $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ käyttäen $$$n=1$$$:

$$2 e^{2} {\color{red}{\int{t d t}}}=2 e^{2} {\color{red}{\frac{t^{1 + 1}}{1 + 1}}}=2 e^{2} {\color{red}{\left(\frac{t^{2}}{2}\right)}}$$

Näin ollen,

$$\int{2 t e^{2} d t} = t^{2} e^{2}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{2 t e^{2} d t} = t^{2} e^{2}+C$$

$$$\int 2 t e^{2}\, dt = t^{2} e^{2} + C$$$A