Tangenttisuora funktiolle $$$y = x^{3} - 3 x + 2$$$ pisteessä $$$x = 2$$$

Laske funktiolle $$$y = x^{3} - 3 x + 2$$$ tangenttisuora pisteessä $$$x = 2$$$.

On annettu, että $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 3 x + 2$$$ ja $$$x_{0} = 2$$$.

Määritä funktion arvo annetussa pisteessä: $$$y_{0} = f{\left(2 \right)} = 4$$$.

Tangenttisuoran kulmakerroin kohdassa $$$x = x_{0}$$$ on funktion derivaatan arvo kohdassa $$$x = x_{0}$$$: $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right)$$$.

Laske derivaatta: $$$f^{\prime }\left(x\right) = \left(x^{3} - 3 x + 2\right)^{\prime } = 3 x^{2} - 3$$$ (vaiheet: ks. derivointilaskin).

Tästä seuraa, että $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right) = 3 x_{0}^{2} - 3$$$.

Seuraavaksi määritä kulmakerroin annetussa pisteessä.

$$$m = M{\left(2 \right)} = 9$$$

Lopuksi tangenttisuoran yhtälö on $$$y - y_{0} = m \left(x - x_{0}\right)$$$.

Sijoittamalla löydetyt arvot saadaan $$$y - 4 = 9 \left(x - 2\right)$$$.

Tai yksinkertaisemmin: $$$y = 9 x - 14$$$.

Tangenttisuoran yhtälö on $$$y = 9 x - 14$$$A.