Tangenttisuora funktiolle $$$y = - 2 \sin{\left(x \right)}$$$ pisteessä $$$x = 34 \pi$$$

Laske funktiolle $$$y = - 2 \sin{\left(x \right)}$$$ tangenttisuora pisteessä $$$x = 34 \pi$$$.

On annettu, että $$$f{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)}$$$ ja $$$x_{0} = 34 \pi$$$.

Määritä funktion arvo annetussa pisteessä: $$$y_{0} = f{\left(34 \pi \right)} = 0$$$.

Tangenttisuoran kulmakerroin kohdassa $$$x = x_{0}$$$ on funktion derivaatan arvo kohdassa $$$x = x_{0}$$$: $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right)$$$.

Laske derivaatta: $$$f^{\prime }\left(x\right) = \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)^{\prime } = - 2 \cos{\left(x \right)}$$$ (vaiheet: ks. derivointilaskin).

Tästä seuraa, että $$$M{\left(x_{0} \right)} = f^{\prime }\left(x_{0}\right) = - 2 \cos{\left(x_{0} \right)}$$$.

Seuraavaksi määritä kulmakerroin annetussa pisteessä.

$$$m = M{\left(34 \pi \right)} = -2$$$

Lopuksi tangenttisuoran yhtälö on $$$y - y_{0} = m \left(x - x_{0}\right)$$$.

Sijoittamalla löydetyt arvot saadaan $$$y - 0 = - 2 \left(x - 34 \pi\right)$$$.

Tai yksinkertaisemmin: $$$y = - 2 x + 68 \pi$$$.

Tangenttisuoran yhtälö on $$$y = - 2 x + 68 \pi\approx 213.62830044410594 - 2 x$$$A.