Funktion $$$x \left(x - 1\right)$$$ derivaatta
Aiheeseen liittyvät laskurit: Logaritmisen derivoinnin laskin, Vaiheittainen implisiittisen derivoinnin laskin
Syötteesi
Määritä $$$\frac{d}{dx} \left(x \left(x - 1\right)\right)$$$.
Ratkaisu
Sovella tulon derivointisääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ funktioille $$$f{\left(x \right)} = x$$$ ja $$$g{\left(x \right)} = x - 1$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \left(x - 1\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \left(x - 1\right) + x \frac{d}{dx} \left(x - 1\right)\right)}$$Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ käyttäen $$$n = 1$$$, toisin sanoen, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$x \frac{d}{dx} \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = x \frac{d}{dx} \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right) {\color{red}\left(1\right)}$$Summan/erotuksen derivaatta on derivaattojen summa/erotus:
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x - 1\right)\right)} + x - 1 = x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) - \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} + x - 1$$Vakion derivaatta on $$$0$$$:
$$x \left(- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x\right)\right) + x - 1 = x \left(- {\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(x\right)\right) + x - 1$$Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ käyttäen $$$n = 1$$$, toisin sanoen, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + x - 1 = x {\color{red}\left(1\right)} + x - 1$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dx} \left(x \left(x - 1\right)\right) = 2 x - 1$$$.
Vastaus
$$$\frac{d}{dx} \left(x \left(x - 1\right)\right) = 2 x - 1$$$A