No AI is used
  1. Etusivu
  2. Laskurit
  3. Laskurit: Differentiaali- ja integraalilaskenta I
  4. Differentiaali- ja integraalilaskin

Vaiheittainen implisiittisen derivoinnin laskin

Laske implisiittiset derivaatat vaiheittain

Implisiittisen derivoinnin laskin laskee implisiittisen funktion ensimmäisen ja toisen derivaatan käsitellen joko $$$y$$$:tä $$$x$$$:n funktiona tai $$$x$$$:ää $$$y$$$:n funktiona, ja näyttää välivaiheet.

$$$($$$
,
$$$)$$$
Jätä tyhjäksi, jos et tarvitse derivaattaa tietyssä pisteessä.

Jos laskin ei laskenut jotakin tai olet havainnut virheen tai sinulla on ehdotus tai palaute, ole hyvä ja ota meihin yhteyttä.

Syötteesi

Määritä $$$\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3} = 2 x y\right)$$$.

Ratkaisu

Derivoi erikseen yhtälön molemmat puolet (käsittele $$$y$$$:tä $$$x$$$:n funktiona): $$$\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3}{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(2 x y{\left(x \right)}\right)$$$.

Derivoi yhtälön vasen puoli.

Summan/erotuksen derivaatta on derivaattojen summa/erotus:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{3}\right) + \frac{d}{dx} \left(y^{3}{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$, kun $$$n = 3$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{3}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(y^{3}{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(3 x^{2}\right)} + \frac{d}{dx} \left(y^{3}{\left(x \right)}\right)$$

Funktio $$$y^{3}{\left(x \right)}$$$ on kahden funktion $$$f{\left(u \right)} = u^{3}$$$ ja $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$ yhdistelmä $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$.

Sovella ketjusääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$$3 x^{2} + {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(y^{3}{\left(x \right)}\right)\right)} = 3 x^{2} + {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{3}\right) \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$, kun $$$n = 3$$$:

$$3 x^{2} + {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{3}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = 3 x^{2} + {\color{red}\left(3 u^{2}\right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$

Palaa alkuperäiseen muuttujaan:

$$3 x^{2} + 3 {\color{red}\left(u\right)}^{2} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) = 3 x^{2} + 3 {\color{red}\left(y{\left(x \right)}\right)}^{2} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$

Näin ollen, $$$\frac{d}{dx} \left(x^{3} + y^{3}{\left(x \right)}\right) = 3 x^{2} + 3 y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)$$$.

Derivoi yhtälön oikea puoli.

Sovella vakion kerroinsääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ käyttäen $$$c = 2$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x y{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x y{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Sovella tulon derivointisääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ funktioille $$$f{\left(x \right)} = x$$$ ja $$$g{\left(x \right)} = y{\left(x \right)}$$$:

$$2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x y{\left(x \right)}\right)\right)} = 2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) y{\left(x \right)} + x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right)\right)}$$

Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ käyttäen $$$n = 1$$$, toisin sanoen, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$2 x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 y{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 2 x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 y{\left(x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$

Näin ollen, $$$\frac{d}{dx} \left(2 x y{\left(x \right)}\right) = 2 x \frac{d}{dx} \left(y{\left(x \right)}\right) + 2 y{\left(x \right)}$$$.

Näin ollen olemme saaneet seuraavan derivaatan suhteen lineaarisen yhtälön: $$$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{dy}{dx} = 2 x \frac{dy}{dx} + 2 y$$$.

Ratkaisemalla saadaan, että $$$\frac{dy}{dx} = \frac{3 x^{2} - 2 y}{2 x - 3 y^{2}}$$$.

Vastaus

$$$\frac{dy}{dx} = \frac{3 x^{2} - 2 y}{2 x - 3 y^{2}}$$$A


Please try a new game Rotatly
Aiheeseen liittyvä huomautus: Implicit Differentiation