Funktion $$$t \left(t - 1\right)$$$ derivaatta
Aiheeseen liittyvät laskurit: Logaritmisen derivoinnin laskin, Vaiheittainen implisiittisen derivoinnin laskin
Syötteesi
Määritä $$$\frac{d}{dt} \left(t \left(t - 1\right)\right)$$$.
Ratkaisu
Sovella tulon derivointisääntöä $$$\frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)} g{\left(t \right)}\right) = \frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)}\right) g{\left(t \right)} + f{\left(t \right)} \frac{d}{dt} \left(g{\left(t \right)}\right)$$$ funktioille $$$f{\left(t \right)} = t$$$ ja $$$g{\left(t \right)} = t - 1$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t \left(t - 1\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right) \left(t - 1\right) + t \frac{d}{dt} \left(t - 1\right)\right)}$$Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1}$$$ käyttäen $$$n = 1$$$, toisin sanoen, $$$\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1$$$:
$$t \frac{d}{dt} \left(t - 1\right) + \left(t - 1\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} = t \frac{d}{dt} \left(t - 1\right) + \left(t - 1\right) {\color{red}\left(1\right)}$$Summan/erotuksen derivaatta on derivaattojen summa/erotus:
$$t {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t - 1\right)\right)} + t - 1 = t {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right) - \frac{d}{dt} \left(1\right)\right)} + t - 1$$Vakion derivaatta on $$$0$$$:
$$t \left(- {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(1\right)\right)} + \frac{d}{dt} \left(t\right)\right) + t - 1 = t \left(- {\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dt} \left(t\right)\right) + t - 1$$Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1}$$$ käyttäen $$$n = 1$$$, toisin sanoen, $$$\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1$$$:
$$t {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} + t - 1 = t {\color{red}\left(1\right)} + t - 1$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dt} \left(t \left(t - 1\right)\right) = 2 t - 1$$$.
Vastaus
$$$\frac{d}{dt} \left(t \left(t - 1\right)\right) = 2 t - 1$$$A