|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funktion $$$\sqrt{a^{x} - 1}$$$ derivaatta muuttujan $$$x$$$ suhteen
Aiheeseen liittyvät laskurit: Logaritmisen derivoinnin laskin, Vaiheittainen implisiittisen derivoinnin laskin
Syötteesi
Määritä $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{a^{x} - 1}\right)$$$.
Ratkaisu
Funktio $$$\sqrt{a^{x} - 1}$$$ on kahden funktion $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{u}$$$ ja $$$g{\left(x \right)} = a^{x} - 1$$$ yhdistelmä $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$.
Sovella ketjusääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{a^{x} - 1}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right) \frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)\right)}$$Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$, kun $$$n = \frac{1}{2}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sqrt{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)} \frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)$$Palaa alkuperäiseen muuttujaan:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(u\right)}}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)}{2 \sqrt{{\color{red}\left(a^{x} - 1\right)}}}$$Summan/erotuksen derivaatta on derivaattojen summa/erotus:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x} - 1\right)\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right) - \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(n^{x}\right) = n^{x} \ln\left(n\right)$$$, kun $$$n = a$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{x}\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(1\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}} = \frac{{\color{red}\left(a^{x} \ln\left(a\right)\right)} - \frac{d}{dx} \left(1\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$Vakion derivaatta on $$$0$$$:
$$\frac{a^{x} \ln\left(a\right) - {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}} = \frac{a^{x} \ln\left(a\right) - {\color{red}\left(0\right)}}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{a^{x} - 1}\right) = \frac{a^{x} \ln\left(a\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$$.
Vastaus
$$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{a^{x} - 1}\right) = \frac{a^{x} \ln\left(a\right)}{2 \sqrt{a^{x} - 1}}$$$A