|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funktion $$$\sin{\left(x y \right)}$$$ derivaatta muuttujan $$$y$$$ suhteen
Aiheeseen liittyvät laskurit: Logaritmisen derivoinnin laskin, Vaiheittainen implisiittisen derivoinnin laskin
Syötteesi
Määritä $$$\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(x y \right)}\right)$$$.
Ratkaisu
Funktio $$$\sin{\left(x y \right)}$$$ on kahden funktion $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ ja $$$g{\left(y \right)} = x y$$$ yhdistelmä $$$f{\left(g{\left(y \right)} \right)}$$$.
Sovella ketjusääntöä $$$\frac{d}{dy} \left(f{\left(g{\left(y \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dy} \left(g{\left(y \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(x y \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dy} \left(x y\right)\right)}$$Sinin derivaatta on $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right)$$Palaa alkuperäiseen muuttujaan:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right) = \cos{\left({\color{red}\left(x y\right)} \right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right)$$Sovella vakion kerroinsääntöä $$$\frac{d}{dy} \left(c f{\left(y \right)}\right) = c \frac{d}{dy} \left(f{\left(y \right)}\right)$$$ käyttäen $$$c = x$$$ ja $$$f{\left(y \right)} = y$$$:
$$\cos{\left(x y \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(x y\right)\right)} = \cos{\left(x y \right)} {\color{red}\left(x \frac{d}{dy} \left(y\right)\right)}$$Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dy} \left(y^{n}\right) = n y^{n - 1}$$$ käyttäen $$$n = 1$$$, toisin sanoen, $$$\frac{d}{dy} \left(y\right) = 1$$$:
$$x \cos{\left(x y \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(y\right)\right)} = x \cos{\left(x y \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = x \cos{\left(x y \right)}$$$.
Vastaus
$$$\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = x \cos{\left(x y \right)}$$$A