|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funktion $$$\ln\left(3 x\right)$$$ derivaatta
Aiheeseen liittyvät laskurit: Logaritmisen derivoinnin laskin, Vaiheittainen implisiittisen derivoinnin laskin
Syötteesi
Määritä $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(3 x\right)\right)$$$.
Ratkaisu
Funktio $$$\ln\left(3 x\right)$$$ on kahden funktion $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ ja $$$g{\left(x \right)} = 3 x$$$ yhdistelmä $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$.
Sovella ketjusääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(3 x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)}$$Luonnollisen logaritmin derivaatta on $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(3 x\right)$$Palaa alkuperäiseen muuttujaan:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(3 x\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(3 x\right)}{{\color{red}\left(3 x\right)}}$$Sovella vakion kerroinsääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ käyttäen $$$c = 3$$$ ja $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(3 x\right)\right)}}{3 x} = \frac{{\color{red}\left(3 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{3 x}$$Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ käyttäen $$$n = 1$$$, toisin sanoen, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{x} = \frac{{\color{red}\left(1\right)}}{x}$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(3 x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$.
Vastaus
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(3 x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$A