|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funktion $$$\cos{\left(4 t \right)}$$$ derivaatta
Aiheeseen liittyvät laskurit: Logaritmisen derivoinnin laskin, Vaiheittainen implisiittisen derivoinnin laskin
Syötteesi
Määritä $$$\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(4 t \right)}\right)$$$.
Ratkaisu
Funktio $$$\cos{\left(4 t \right)}$$$ on kahden funktion $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ ja $$$g{\left(t \right)} = 4 t$$$ yhdistelmä $$$f{\left(g{\left(t \right)} \right)}$$$.
Sovella ketjusääntöä $$$\frac{d}{dt} \left(f{\left(g{\left(t \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(g{\left(t \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(4 t \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(4 t\right)\right)}$$Kosinin derivaatta on $$$\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) = - \sin{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dt} \left(4 t\right) = {\color{red}\left(- \sin{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dt} \left(4 t\right)$$Palaa alkuperäiseen muuttujaan:
$$- \sin{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dt} \left(4 t\right) = - \sin{\left({\color{red}\left(4 t\right)} \right)} \frac{d}{dt} \left(4 t\right)$$Sovella vakion kerroinsääntöä $$$\frac{d}{dt} \left(c f{\left(t \right)}\right) = c \frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)}\right)$$$ käyttäen $$$c = 4$$$ ja $$$f{\left(t \right)} = t$$$:
$$- \sin{\left(4 t \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(4 t\right)\right)} = - \sin{\left(4 t \right)} {\color{red}\left(4 \frac{d}{dt} \left(t\right)\right)}$$Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1}$$$ käyttäen $$$n = 1$$$, toisin sanoen, $$$\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1$$$:
$$- 4 \sin{\left(4 t \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} = - 4 \sin{\left(4 t \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(4 t \right)}\right) = - 4 \sin{\left(4 t \right)}$$$.
Vastaus
$$$\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(4 t \right)}\right) = - 4 \sin{\left(4 t \right)}$$$A