Funktion $$$a t - b t$$$ derivaatta muuttujan $$$t$$$ suhteen
Aiheeseen liittyvät laskurit: Logaritmisen derivoinnin laskin, Vaiheittainen implisiittisen derivoinnin laskin
Syötteesi
Määritä $$$\frac{d}{dt} \left(a t - b t\right)$$$.
Ratkaisu
Summan/erotuksen derivaatta on derivaattojen summa/erotus:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(a t - b t\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(a t\right) - \frac{d}{dt} \left(b t\right)\right)}$$Sovella vakion kerroinsääntöä $$$\frac{d}{dt} \left(c f{\left(t \right)}\right) = c \frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)}\right)$$$ käyttäen $$$c = b$$$ ja $$$f{\left(t \right)} = t$$$:
$$- {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(b t\right)\right)} + \frac{d}{dt} \left(a t\right) = - {\color{red}\left(b \frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} + \frac{d}{dt} \left(a t\right)$$Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1}$$$ käyttäen $$$n = 1$$$, toisin sanoen, $$$\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1$$$:
$$- b {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} + \frac{d}{dt} \left(a t\right) = - b {\color{red}\left(1\right)} + \frac{d}{dt} \left(a t\right)$$Sovella vakion kerroinsääntöä $$$\frac{d}{dt} \left(c f{\left(t \right)}\right) = c \frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)}\right)$$$ käyttäen $$$c = a$$$ ja $$$f{\left(t \right)} = t$$$:
$$- b + {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(a t\right)\right)} = - b + {\color{red}\left(a \frac{d}{dt} \left(t\right)\right)}$$Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1}$$$ käyttäen $$$n = 1$$$, toisin sanoen, $$$\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1$$$:
$$a {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} - b = a {\color{red}\left(1\right)} - b$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dt} \left(a t - b t\right) = a - b$$$.
Vastaus
$$$\frac{d}{dt} \left(a t - b t\right) = a - b$$$A